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By Vladimir A. Zorich

ISBN-10: 3540332774

ISBN-13: 9783540332770

ISBN-10: 3540332782

ISBN-13: 9783540332787

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Es ist beispielsweise bekannt, dass die Quadratwurzel einer positiven Zahl a sukzessive mit Hilfe der Forniel 2\ a;„ / mit jedem Anfangswert a;o > 0 angenahert werden kann. Dies ist nichts anderes als die sukzessive Berechnung von /"(a;o) mit f{x) = ^(a; + - ) . Eine derartige Prozedur, bei der der in jedem Schritt berechnete Funktionswert zum Argument fiir den nachsten Schritt wird, wird rekursive Prozedur genannt. Rekursive Prozeduren sind in der Mathematik weit verbreitet. Wir woUen noch darauf hinweisen, dass, selbst wenn sowohl g o / als auch f ° g definiert sind, im AUgemeinen gilt: 9°f¥'f°9Als Beispiel betrachten wir die Menge mit zwei Elementen {a, b} und die Abbildungen f : {a,b} ^ a und g : {a, b} -^ b.

F. Gauss (1777-1855) und dem hervorragenden ungarischen Mathematiker J. Bolyai (1802-1860) die Ehre, die nicht-euklidische Geometrie begriindet zu haben. Lobachevskii, N. I. Gesamte Werke, Bd. 5, Moskau-Leningrad: Gostekhizdat, 1951, S. 44 (russisch). 22 1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen Wir woUen einige Beispiele geben. Beispiel 13. Die Diagonale -2| A = {{a,h) eX^ ist eine Teilmenge von X'^. Sie definiert die Gleichheitsrelation zwischen Elementen von X. , a = b. Beispiel 14- Sei X die Menge aller Geraden in einer Ebene.

B) Seien / : X —>• Y und g : Y ^ Z bijektive Abbildungen. Y ^ Z und jede Menge C d Z gilt, d) Beweisen Sie, dass die Abbildung F : X x Y — > - Y x X , die durch die Bezieliung (x, y) I—> (y, x) definiert ist, bijektiv ist. Beschreiben Sie die Verbindung zwischen den Graphen zueinander inverser Abbildungen / : X —> Y und /~^ : Y —> X. 7. a) Zeigen Sie, dass fiir jede Abbildung / : X —>• Y die Abbildung F : X —>• X x Y, die durch die Beziehung x i—> {x,f{x)\ definiert wird, injektiv ist. b) Nehmen Sie an, dass sich ein Teilchen mit gleichformiger Geschwindigkeit auf einem Kreis Y bewegt.

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Analysis l by Vladimir A. Zorich

by Kenneth

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